Como resolver equações logarítmicas

Contente

• estágios
• Preliminar: saber transformar uma equação logarítmica em uma equação com potências
• Método 1 Localizar X
• Método 2 de 2: Localizar X usando a regra do produto logaritmo
• Método 3 de 2: Localizar X usando t a regra do quociente de logaritmo

As equações logarítmicas não são, à primeira vista, as mais fáceis de resolver em matemática, mas podem ser transformadas em equações com expoentes (notação exponencial). Assim, se você conseguir fazer essa transformação e se dominar o cálculo com os poderes, deverá resolver facilmente esse tipo de equação. NB: o termo "log" será usado periodicamente em vez de "logaritmo", eles são intercambiáveis.

estágios

Preliminar: saber transformar uma equação logarítmica em uma equação com potências

1. 
   

   
   Vamos começar com a definição de logaritmo. Se você deseja calcular logaritmos, saiba que eles nada mais são do que uma maneira especial de expressar poderes. Vamos começar com uma das condições clássicas do logaritmo:
   • y = log_b (X)
     • se e somente se: b = x
   • b é a base do logaritmo. Duas condições devem ser atendidas:
     • b> 0 (b deve ser estritamente positivo)
     • b não deve ser igual a 1
   • Em notação exponencial (segunda equação acima), lá é o poder e X é a chamada expressão exponencial, de fato, o valor do qual se procura o log.

2. 
   

   
   
   
   Observe a equação de perto. Em face de uma equação logarítmica, devemos identificar a base (b), a potência (y) e a expressão exponencial (x).
   • exemplo : 5 = log₄(1024)
     • b = 4
     • y = 5
     • x = 1024

3. 
   

   
   Coloque a expressão exponencial em um lado da equação. Coloque, por exemplo, seu valor X à esquerda do sinal "=".
   • exemplo : 1024 = ?

4. 
   

   
   Eleve a base à força indicada. O valor designado ao banco de dados (b) deve ser multiplicado por si só quantas vezes a energia indicar (lá).
   • exemplo : 4 x 4 x 4 x 4 x 4 =?
     • Em resumo, isso fornece: 4

5. 
   

   
   
   
   Escreva sua resposta. Agora você pode reescrever o logaritmo em notação exponencial. Verifique se sua igualdade está correta refazendo o cálculo.
   • exemplo : 4 = 1024

Método 1 Localizar X

1. 
   

   
   Isole o logaritmo. O objetivo é desolar pela primeira vez o log. Para isso, passamos todos os membros não logarítmicos do outro lado da equação. Não se esqueça de reverter os sinais operativos!
   • exemplo : log₃(X + 5) + 6 = 10
     • log₃(X + 5) + 6 - 6 = 10 - 6
     • log₃(X + 5) = 4

2. 
   

   
   Escreva a equação na forma exponencial. Para encontrar "x", você precisará passar de notação logarítmica para notação exponencial, sendo esta mais fácil de resolver.
   • exemplo : log₃(X + 5) = 4
     • A partir da equação teórica y = log_b (X)], aplique-o ao nosso exemplo: y = 4; b = 3; x = x + 5
     • Escreva a equação como: b = x
     • Obtemos aqui: 3 = x + 5

3. 
   

   
   encontrar X. Agora você se depara com uma equação de primeiro grau, que é fácil de resolver. Pode ser de segundo ou terceiro grau.
   • exemplo : 3 = x + 5
     • (3) (3) (3) (3) = x + 5
     • 81 = x + 5
     • 81 - 5 = x + 5-5
     • 76 = x

4. 
   

   
   Digite sua resposta definitiva. O valor que você encontrou para "x" é a resposta para sua equação logarítmica: log₃(X + 5) = 4.
   • exemplo : x = 76

Método 2 de 2: Localizar X usando a regra do produto logaritmo

1. 
   

   
   Você deve conhecer a regra referente ao produto (multiplicação) dos logs. De acordo com a primeira propriedade dos logs, aquela que diz respeito ao produto dos logs (da mesma base de envio!), O log de um produto é igual à soma dos logs dos elementos do produto. Ilustração:
   • log_b(m x n) = log_b(m) + log_b(N)
   • Duas condições devem ser atendidas:
     • m> 0
     • n> 0

2. 
   

   
   Isole os logs em um lado da equação. O objetivo é realmente desolar a princípio os logs. Para isso, passamos todos os membros não logarítmicos do outro lado da equação. Não se esqueça de reverter os sinais operativos!
   • exemplo : log₄(x + 6) = 2 - log₄(X)
     • log₄(x + 6) + log₄(x) = 2 - log₄(x) + log₄(X)
     • log₄(x + 6) + log₄(x) = 2

3. 
   

   
   Aplique a regra referente ao produto dos logs. Aqui, aplicaremos na direção oposta, a saber, que a soma dos logs é igual ao log do produto. O que nos dá:
   • exemplo : log₄(x + 6) + log₄(x) = 2
     • log₄ = 2
     • log₄(x + 6x) = 2

4. 
   

   
   Reescreva a equação com poderes. Lembre-se de que uma equação logarítmica pode ser transformada em uma equação com expoentes. Como antes, passaremos para a notação exponencial para ajudar a resolver o problema.
   • exemplo : log₄(x + 6x) = 2
     • Partindo da equação teórica, vamos aplicá-la ao nosso exemplo: y = 2; b = 4; x = x + 6x
     • Escreva a equação como: b = x
     • 4 = x + 6x

5. 
   

   
   encontrar X. Agora você está enfrentando uma equação de segundo grau, que é fácil de resolver.
   • exemplo : 4 = x + 6x
     • (4) (4) = x + 6x
     • 16 = x + 6x
     • 16 - 16 = x + 6x - 16
     • 0 = x + 6x - 16
     • 0 = (x - 2) (x + 8)
     • x = 2; x = -8

6. 
   

   
   Escreva sua resposta. Muitas vezes, temos duas respostas (raízes). Deve ser verificado na equação inicial se esses dois valores são adequados. De fato, não podemos calcular o log de um número negativo! Digite a única resposta válida.
   • exemplo : x = 2
   • Nunca lembraremos o suficiente: o log de um número negativo não existe, então você pode, aqui, descartar - 8 como uma solução. Se tomarmos -8 como resposta, na equação básica, teríamos: log₄(-8 + 6) = 2 - log₄(-8), ou seja, log₄(-2) = 2 - log₄(-8). Não é possível calcular o log de um valor negativo!

Método 3 de 2: Localizar X usando t a regra do quociente de logaritmo

1. 
   

   
   Você deve conhecer a regra que diz respeito à divisão dos logs. De acordo com a segunda propriedade dos logs, aquela que diz respeito à divisão dos logs (da mesma base de envio!), O log de um quociente é igual à diferença entre o log do numerador e o log do denominador. Ilustração:
   • log_b(m / n) = log_bm) - log_b(N)
   • Duas condições devem ser atendidas:
     • m> 0
     • n> 0

2. 
   

   
   Isole os logs em um lado da equação. O objetivo é realmente desolar a princípio os logs. Para isso, passamos todos os membros não logarítmicos do outro lado da equação. Não se esqueça de reverter os sinais operativos!
   • exemplo : log₃(x + 6) = 2 + log₃(x - 2)
     • log₃(x + 6) - log₃(x - 2) = 2 + log₃(x - 2) - log₃(x - 2)
     • log₃(x + 6) - log₃(x - 2) = 2

3. 
   

   
   Aplique a regra do quociente de log. Aqui, aplicaremos na direção oposta, a saber, que a diferença dos logs é igual ao log do quociente. O que nos dá:
   • exemplo : log₃(x + 6) - log₃(x - 2) = 2
     • log₃ = 2

4. 
   

   
   Reescreva a equação com poderes. Lembre-se de que uma equação logarítmica pode ser transformada em uma equação com expoentes. Como antes, passaremos para a notação exponencial para ajudar a resolver o problema.
   • exemplo : log₃ = 2
     • Partindo da equação teórica, vamos aplicá-la ao nosso exemplo: y = 2; b = 3; x = (x + 6) / (x - 2)
     • Escreva a equação como: b = x
     • 3 = (x + 6) / (x - 2)

5. 
   

   
   encontrar X. Agora que não há mais logs, mas poderes, você deve encontrar facilmente X.
   • exemplo Dê sua nota! Dê sua nota!
     • (3) (3) = (x + 6) / (x - 2)
     • 9 = (x + 6) / (x - 2)
     • 9 (x - 2) = (x - 2) & mdash; multiplicamos ambos os lados por (x - 2)
     • 9x - 18 = x + 6
     • 9x - x - 18 + 18 = x - x + 6 + 18
     • 8x = 24
     • 8x / 8 = 24/8
     • x = 3

6. 
   

   
   Digite sua resposta definitiva. Retome seus cálculos e faça uma verificação. Quando tiver certeza de sua resposta, anote-a definitivamente.
   • exemplo : x = 3